Fungsi Rasional

FUNGSI RASIONAL

Fungsi rasional adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan rasional g(x)/h(x). Dengan g(x) dan h(x)  adalah polinom-polinom dan h(x) tidak sama dengan nol.

1.      Fungsi Polinom

yaitu bentuk suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel dan konstanta. Operasi yang digunakan hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan bulat tak negative.

Contoh suku banyak:

                 1.    3x⁵ - x² + 10                      (5 Suku)

                 2.    x² - 5x + 6                        (2 Suku)

                 3.    (2x - 3)² (3 - 5x)³              (5 Suku)         

             

                 Bentuk Umum: a_nxⁿ + a_(n-1)x^n-1 + a_(n-2)x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x¹ + a₀

                  dengan syarat a_n ≠ 0, maka:

                  a_n    = koefisien xⁿ

                  a_n-1  = koefisien x^n-1

                  a₂    = koefisien x²

                  a₁    = koefisien x

                 a₀     = konstanta

            Contoh soal:

            Untuk polinom P(x) = 4x⁴ + 3x³ – 6x² + 2x -3, maka nilai polinom untuk x = 1 adalah...

            Pembahasan:

P(1) = 4(1)⁴ + 3(1)³ – 6(1)² + 2(1) -3 

P(1) = 4 + 3 - 6 + 2 - 3 = 0

2.      Fungsi linear

yaitu fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. sesuai namanya, setiap persamaan linear apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis.

Bentuk fungsi: y= a⁰ +a₁x¹

Contoh fungsi linear:

2y= 3x – 5

y = variabel terikat

x = variabel bebas

2 = koefisien (terletak di depan variabel y)

3 = koefisien (terletak di depan variabel x)

5 = konstanta

x = y – 5

y = variabel bebas

x = variabel terikat

-5 = konstanta     

Contoh soal: 

x	1	2	3
y	9	11	13

   

*Tentukan persamaannya

     Jawab :
     y   = ax + b                    9    = a + b
     9   = a + b                      11  = 2a + b         
                    11  = 2a + b                     -2  = -a
                    13 = 3a + b                       a  = 2
                                                                                           9  = a + b
                                                                                           9  = 2 + b
                                                                                          -b  = 2 - 9
                                                                                           b  =7

    Jadi persamaan nya adalah y = 2x + 7

3.      Fungsi kuadrat

yaitu fungsi yang pangkat tertinggi variabelnya adalah pangkat dua.

Bentuk umum: ax²+ bx + c =0 , a ‡0

x adalah variabel

a adalah koefisien x²

b adalah koefisien x

c adalah konstanta  

Contoh:

               Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

               Jawab:  

                   (x – x₁) (x – x₂) = 0

                   (x – 3) (x – (-2)) = 0

                   (x – 3) (x + 2) = 0

                   x² – 3 x + 2 x – 6 = 0

                   x² – x – 6 = 0.

  

4.      Fungsi kubik

yaitu pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga.

Bentuk umum:

ax³ + bx² + cx + d = 0  dengan a ≠ 0

                  Contoh:
              Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ – 7x² + 10x  = 0
              Jawab:
              x³ – 7x² + 10x  = 0
                  x(x² – 7x + 10)  = 0
                  x(x – 2)(x – 5) = 0
                  x = 0 atau x = 2 atau x = 5
                  Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 5}

5.      Fungsi bikuadrat

yaitu pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat empat.

Bentuk umum: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 

Contoh: y =2 + 4x - 6x² + 8x³ - 5x⁴

             

BAB 1

HIMPUNAN 

1.1  PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek. Objek yang membentuk sebuah himpunan disebut elemen, anggota, atau unsur. Dalam penyajian secara umum, himpunan dilambangkan dengan huruf besar seperti A, B, C. Sedangkan objek menjadi anggota suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kecil seperti a, b, c.

Simbol yang digunakan pada himpunan: 

1.2  PENYAJIAN HIMPUNAN

         Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan:

1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh: A = {a, i, u, e, o}.

2.      Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati.

Contoh: P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil.

3.      Notasi pembentukkan himpunan, yaitu dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota.

Contoh: A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}

4.   Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat.

Contoh:

           1.3. MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:

1.      Deskripsi

Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata atau hanya menyebutkan sifat keanggotannya saja.

Contoh:

-          A = { nama kota yang berawal huruf B }

-          B = { bilangan asli kurang dari 10 }

2.      Tabulasi atau Roster

Menyatakan suatu himpunan dengan mendaftar anggota-anggota satu persatu.

Contoh:

-          A = {Bandung, Bogor, Banjar}

3.      Rule

Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan.

Contoh:

-         

-               

              1.4 HIMPUNAN BILANGAN

Bilangan ada bermacam-macam. Diantaranya, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan genap, dan lain-lain. Dalam himpunan penulisan bilangan-bilangan tersebut sebagai berikut:

1.      Himpunan bilangan asli dilambangkan A (R).

            Dengan demikian, A = {1,2,3,4,5,...}

2.      Himpunan bilangan cacah dilambangkan C.

            Dengan demikian, C = { 0,1,2,3,4,5,...}

3.      Himpunan bilangan bulat dilambangkan B.

            Dengan demikian, B = { ...,-2,-1,0,1,2,...}

4.      Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan P.

            Bilangan ini memiliki tepat dua faktor, yaitu satu dan bilangan itu sendiri.

            Dengan demikian, P = {2,3,5,7,11,13,17,19,...}

          1.5 JENIS HIMPUNAN

Himpunan ada bermacam-macam. Misalnya, himpunan nol, himpunan kosong, himpunan berhingga, himpunan tak terhingga, himpunan sama, himpunan ekuivalen, dan himpunan semesta.

1.      Himpunan Nol dan Himpunan Kosong

Himpunan nol adalah himpunan yang memiliki satu anggota, yaitu nol. Himpunan nol dilambangkan dengan {0}.

Contoh: himpunan bilangan cacah yang anggotanya kurang dari satu, anggotanya hanya satu yaitu 0.

      Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan {} atau

Contoh: himpunan mahkluk hidup yang tidak memerlukan oksigen.

2.      Himpunan terhingga dan tidak terhingga

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dihitung.

Contoh: himpunan bilangan cacah kurang dari 5, yaitu {0,1,2,3,4} dengan banyak anggota 5.

   Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak dapat dihitung.

Contoh : himpunan bilangan bulat.

3.      Himpunan Sama dan Himpunan Ekuivalen

Himpunan A dan B dikatakan himpunan sama bila setiap anggota himpunan A dan B adalah sama dituliskan A = B.                                                                            

                                              

                 Contoh :

-          C = { d,a,p,u,r}

-          D = { p,u,d,a,r}

Setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan D, dan berlaku sebaliknya. Dengan demikian C = D.

Himpunan P dan Q dikatakan ekuivalen jika banyaknya anggota P sama dengan    banyaknya anggota himpunan Q atau n(P) = n(Q}, dituliskan .

                  Contoh:

-          R = {1,2,3,4,5}, n(R) = 5

-          S = { a,i,u,e,o}, n(S) = 5

Karena n(R) = n(S), maka himpunan R ekuivalen dengan himpunan S atau .

4.      Himpunan semesta
      Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat seluruh anggota himpunan yang dibicarakan. himpunan semesta disebut juga himpunan universum yang dilambangkan S.

Contoh: A = {-2,-1,0,1,2}.

Berarti himpunan semesta untuk A adalah

S = { bilangan bulat}, atau S = {bilangan bulat kurang dari 3}.