KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL TAK TENTU

A. INTEGRAL

   Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.

Lambang integral adalah ∫ 

B. INTEGRAL TAK TENTU

    Integral taktentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang behubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui.

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

∫ f(x) dx = F(x) + k

dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan diatas, tanda ∫ adalah tanda integral; f(x) dx adalah diferensial dari F(x); f(x) adalah integral partikular; k adalah konstanta pengintegralan; dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.

 

C. KAIDAH-KAIDAH INTEGRAL TAK TENTU

1. Formula Pangkat

    Rumus : ∫ x ⁿ dx   =     x ⁿ⁺¹     +   k        ,       n  ≠ -1

                                                 ^{n + 1}

     Contoh : ∫ x⁷ dx  =   x ⁷⁺¹     +   k    =>     x ⁸    +   k    

                                             ^{7 + 1                                  8}

 2. Formula Logaritmis

     Rumus :  ∫   1  dx = In x + k

                         x

     Contoh : ∫   14  dx =  14 In x + k

                         x  

     Bukti :  d    (14 In x + k) =  14

                 dx                             x

3. Formula Eksponensial

    Rumus : ∫ e^x  dx = e ^x + k

 

    Contoh : ∫ e ^{x + 19}  dx = e ^{x + 19} d(x + 19) = e ^{x + 19}  + k 

                             

    Bukti :  d   (e ^{x + 19}  + k ) = e ^{x + 19}

                dx 

4. Formula Penjumlahan

    Rumus : ∫ { (x) + g(x) } dx = ∫ f(x) dx  +  ∫ g(x) dx

                                               = F(x) + G(x) + k

    Contoh : ∫ ( x³ + 4x⁵ ) dx  =  ∫  1 x ⁴ + x⁶ + k

                                                   4

    Bukti :  d  (0,25 x⁴ +  x⁶ + k) =  x³ + 4x⁵

                dx

5. Formula Perkalian 

    Rumus : ∫ nf(x) dx = n ∫ f(x) dx      ,       n  ≠  0

 

    Contoh : ∫ 8 x⁷ dx = 8 ∫ x⁷ dx = 8 (  1 x⁸  + k

                                                           8

                                                  = x^{8 +} k

    Bukti :  d   ( x⁸ + k ) = 8 x⁷ 

                dx

6. Formula Substitusi 

    Rumus : ∫ f(u) du dx =  ∫f(u) du = F(u) + k

                           dx

    Contoh  : ∫ 6x (3x² – 10)dx 

    Dengan cara substitusi, misalkan u = 3x2 - 10; maka du/dx = 6x, atau dx = du/6x. 

    ∫ 6x (3x2 – 10)dx = ∫ 6x u du/6x = ∫ u du = u2 /2 + k
   = (3x2 – 10)2 + k
              2
   = ½ (9x4 – 60x2 + 100) + k
   = 4,5 x 4 - 30x2 +50 + k
   = 4,5 x 4 - 30x2 + k
      dimana k + 50 + k